Từ phép biến đổi Lorentz rút ra được một số hệ quả quan trọng trong thuyết tương đối hẹp.[34] Những hệ quả này, và do vậy là thuyết tương đối hẹp, dẫn đến những tiên đoán vật lý khác hẳn so với cơ học Newton khi các vận tốc trở lên đáng kể so với tốc độ ánh sáng. Tốc độ ánh sáng rất lớn so với những cảm nhận hàng ngày của con người dẫn đến một số hệ quả của thuyết tương đối ban đầu dường như là phản trực giác.

Tính tương đối của sự đồng thời

Sự kiện B xảy ra đồng thời với sự kiện A trong hệ quy chiếu xanh lục, nhưng nó xảy ra trước A trong hệ quy chiếu xanh lam, và xảy ra sau A trong hệ quy chiếu đỏ.

Thuyết tương đối hạn chế khái niệm của sự đồng thời cho các sự kiện nhìn từ một hệ quy chiếu Galilleo: nếu hai sự kiện xảy ra đồng thời trong R {\displaystyle {\mathcal {R}}} , ở hai điểm khác nhau thuộc R {\displaystyle {\mathcal {R}}} , thì nói chung, chúng sẽ không còn xảy ra đồng thời trong hệ quy chiếu R ′ {\displaystyle {\mathcal {R'}}} chuyển động đều so với R {\displaystyle {\mathcal {R}}} .

Phép biến đổi Lorentz có thể giải thích được điều này: về mặt tổng quát chúng ta có   Δ t ′ = γ ( Δ t − v Δ x / c 2 ) {\displaystyle \ \Delta t'=\gamma (\Delta t-v\Delta x/c^{2})} , do vậy nếu   Δ t = 0 {\displaystyle \ \Delta t=0} trong hệ quy chiếu R {\displaystyle {\mathcal {R}}} , thì trong hệ quy chiếu R ′ {\displaystyle {\mathcal {R'}}} chúng ta có Δ t ′ = − γ v Δ x / c 2 ≠ 0 {\displaystyle \Delta t'=-\gamma v\Delta x/c^{2}\neq 0} nếu   Δ x ≠ 0 {\displaystyle \ \Delta x\neq 0} .

Chú ý rằng nếu trong R {\displaystyle {\mathcal {R}}} đoạn thẳng nối hai điểm vuông góc với phương của vận tốc của hai hệ quy chiếu, tức là   Δ x = 0 {\displaystyle \ \Delta x=0} , nhưng   Δ y ≠ 0 {\displaystyle \ \Delta y\neq 0} và /hoặc   Δ z ≠ 0 {\displaystyle \ \Delta z\neq 0} , thì hai sự kiện xảy ra đồng thời trong hai hệ quy chiếu đang xét đến. Trên đây là ví dụ chỉ ra sự tương đối về kết quả trong phép đo giữa hai hệ quy chiếu, có những hiệu ứng khác nhau giữa hướng song song với hướng vận tốc chuyển động của hai hệ và hướng vuông góc với hướng vận tốc này.

Sự giãn thời gian

Khoảng thời gian giữa hai sự kiện trong một hệ quy chiếu được đo sẽ có giá trị khác khi nó được đo trong một hệ quy chiếu khác đang chuyển động tương đối với hệ thứ nhất. Một đồng hồ đặt trong hệ quy chiếu chuyển động sẽ chạy chậm hơn một đồng hồ giống hệt như nó nhưng đặt trong hệ quy chiếu đứng yên so với hệ quy chiếu nay.

Trái: Quan sát viên đứng yên đo khoảng thời gian 2L/c giữa hai sự kiện cục bộ khi ánh sáng phát ra từ A và phản xạ lại A.
Phải: Các sự kiện được xác định bởi một quan sát viên đang chuyển động về bên trái: gương ở bên dưới A khi tín hiệu phát ra ở thời điểm t'=0, gương ở bên trên B khi tín hiệu phản xạ ở thời điểm t'=D/c, gương dưới A khi tín hiệu trở lại ở thời điểm t'=2D/c

Ives và Stilwell đã thực hiện các thí nghiệm (1938, 1941) với mục đích xác nhận hiệu ứng giãn thời gian do tác động bởi chuyển động theo như đề xuất của Einstein về hiệu ứng Doppler trong tia anode có thể là một thí nghiệm phù hợp để đo hiệu ứng giãn thời gian. Các thí nghiệm này đo dịch chuyển Doppler của bức xạ phát ra từ tia âm cực, khi quan sát trực diện hoặc từ phía đằng sau chùm tia. Các tần số thấp và cao phát hiện được không thể giải thích được từ lý thuyết cổ điển

f 0 1 − v / c và f 0 1 + v / c {\displaystyle {\frac {f_{0}}{1-v/c}}\qquad {\text{và}}\qquad {\frac {f_{0}}{1+v/c}}} Các tần số thấp và cao phát ra từ nguồn đang chuyển động được đo bằng[35] 1 + v / c 1 − v / c f 0 = γ ( 1 + v / c ) f 0 và 1 − v / c 1 + v / c f 0 = γ ( 1 − v / c ) f 0 {\displaystyle {\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}f_{0}=\gamma \left(1+v/c\right)f_{0}\qquad {\text{và}}\qquad {\sqrt {\frac {1-v/c}{1+v/c}}}f_{0}=\gamma \left(1-v/c\right)f_{0}} như Einstein đã chứng minh (1905) từ phép biến đổi Lorentz.[36].

Có một thí nghiệm tưởng tượng trong đó có hai anh em sinh đôi, một người bước lên tàu vũ trụ rồi bay với vận tốc lớn sau đó một vài năm trở lại nhà gặp lại người kia trên Trái Đất thì người trên Trái Đất có tuổi nhiều hơn. Kết quả này dường như tạo ra một nghịch lý, bởi vì mỗi người đều có thể coi người kia đang chuyển động so với họ, và do vậy, theo như sự áp dụng không đúng[37][38] và ngây thơ[39][40] của hiệu ứng giãn thời gian và nguyên lý tương đối, mỗi người sẽ cho lập luận mang tính nghịch lý về tuổi của người còn lại ít hơn so với mình. Tuy vậy, kịch bản này có thể lý giải trong phạm vi khuôn khổ của thuyết tương đối hẹp: quỹ đạo của con tàu của người ở trong tàu bao gồm hai hệ quy chiếu quán tính khác nhau, một cho hành trình đi xa và một cho hành trình trở về, và do đó không có sự đối xứng ở biểu đồ không thời gian của cặp song sinh này. Do vậy, nghịch lý cặp song sinh không phải là "nghịch lý" mang nghĩa mâu thuẫn về logic.

Co ngắn chiều dài

Giả sử có một thước có chiều dài L nằm yên trong hệ R ′ {\displaystyle {\mathcal {R'}}} , đặt cùng hướng với hướng chuyển động của hệ tọa độ R ′ {\displaystyle {\mathcal {R'}}} so với R {\displaystyle {\mathcal {R}}} mà thực hiện phép đo trong hệ này, vượt qua, một thước đo đứng yên khác nằm trong hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} . Kết quả sẽ cho chiều dài nhỏ hơn L: trong hệ quy chiếu R {\displaystyle {\mathcal {R}}} , thước ở hệ R ′ {\displaystyle {\mathcal {R'}}} đang chuyển động và có chiều dài đo được ngắn hơn so với một thước giống hệt đặt trong R {\displaystyle {\mathcal {R}}} .

Phép biến đổi Lorentz ở đây được áp dụng cho trục (ox) với các hệ số β = v c {\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}} và γ = 1 1 − β 2 > 1 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}>1} :

  { c Δ t ′ = γ ( c Δ t − β Δ x ) Δ x ′ = γ ( Δ x − β c Δ t ) Δ y = Δ y ′ Δ z = Δ z ′ {\displaystyle \,~\left\{{\begin{matrix}c\Delta t'=\gamma \left(c\Delta t-\beta \Delta x\right)\\\Delta x'=\gamma \left(\Delta x-\beta c\Delta t\right)\\\Delta y=\Delta y'\\\Delta z=\Delta z'\end{matrix}}\right.}

Đối với phép đo thực hiện trong hệ R {\displaystyle {\mathcal {R}}} , ta có Δ t = 0 {\displaystyle \Delta t=0} , và ta thu được L = Δ x ′ = γ Δ x ⇒ L ′ = Δ x = γ − 1 L < L {\displaystyle L=\Delta x'=\gamma \Delta x\,\Rightarrow \,L'=\Delta x=\gamma ^{-1}L\,<\,L}

Chú ý rằng   Δ y ′ = Δ y {\displaystyle \ \Delta y'=\Delta y} và   Δ z ′ = Δ z {\displaystyle \ \Delta z'=\Delta z} : phép đo độ dài của thước đặt vuông góc với hướng chuyển động của hai hệ tọa độ sẽ cho kết quả chiều dài không đổi.

Có thể chỉ ra sự không đồng thời ở hai điểm đầu cuối của thước đo khi xác định từ hệ quy chiếu khác: c Δ t ′ = − γ β Δ x ≠ 0 {\displaystyle c\Delta t'=-\gamma \beta \Delta x\,\neq 0} , cho phép nói rằng khi nhìn từ một hệ quy chiếu đang chuyển động, các kết quả của phép đo thước kẻ đứng yên trong một hệ sẽ khác với kết quả đo ở hệ kia.

Giống như trường hợp đồng hồ chạy chậm trong hệ quy chiếu chuyển động, có một số nghịch lý xuất hiện từ hiệu ứng co ngắn độ dài[41]. Một trong những nghịch lý nổi tiếng liên quan đến hiệu ứng này đó là nghịch lý mô tả về chiếc xe đi vào garage có chiều dài ngắn hơn nó, nếu nó chuyển động rất nhanh: xem nghịch lý cái thang (hay còn gọi là nghịch lý đoàn tàu, nghịch lý xe con).

Khoảng không thời gian giữa hai sự kiện

Lý thuyết tương đối tính có thể gây ấn tượng (như tên gọi của nó) về tính tương đối của phép đo khi nó phụ thuộc vào hệ quy chiếu quán tính nào đang được tham chiếu đến. Tuy nhiên, thuyết tương đối hẹp cũng tập trung vào đại lượng có tính bất biến khi thực hiện chuyển đổi giữa các hệ quy chiếu. Ở đây tính bất biến của khoảng không thời gian giữa hai sự kiện là một đặc điểm cơ bản của thuyết tương đối tính.[42]

Trong một hệ quy chiếu, một sự kiện được đặc trưng bởi các khoảng tọa độ "không gian" của nó: "ở thời điểm và vị trí tức thời". Hai sự kiện có các tọa độ tương ứng (x1, y1, z1, t1) và (x2, y2, z2, t2) cách nhau bởi "khoảng không thời gian" định nghĩa bằng

( Δ s ) 2 = c 2 ( t 2 − t 1 ) 2 − ( x 2 − x 1 ) 2 − ( y 2 − y 1 ) 2 − ( z 2 − z 1 ) 2 {\displaystyle (\Delta s)^{2}=c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}}

Viết đơn giản hơn thành

Δ s 2 = c 2 Δ t 2 − Δ x 2 − Δ y 2 − Δ z 2 = c 2 Δ t 2 − Δ l 2 {\displaystyle \Delta s^{2}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta l^{2}}

Đại lượng   Δ s 2 {\displaystyle \ \Delta s^{2}} , gọi là "bình phương của khoảng không thời gian", là một bất biến tương đối tính: giá trị của nó không phụ thuộc vào lựa chọn các hệ quy chiếu quán tính để xác định giá trị của nó, thật vậy bằng phép biến đổi Lorentz chứng tỏ được   c 2 Δ t 2 − Δ x 2 − Δ y 2 − Δ z 2 = c 2 Δ t ′   2 − Δ x ′   2 − Δ y ′   2 − Δ z ′   2 {\displaystyle \ c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}=c^{2}\Delta t'~^{2}-\Delta x'~^{2}-\Delta y'~^{2}-\Delta z'~^{2}}

Bởi vì sự có mặt của dấu " - " trong công thức "bình phương" này, nó có thể mang giá trị dương hoặc âm: tên gọi "bình phương" chỉ mang ý nghĩa quy ước. Điều này khác biệt hoàn toàn so với bình phương khoảng cách Euclid, mà luôn luôn cho kết quả không âm: các đại lượng   Δ t 2 {\displaystyle \ \Delta t^{2}} và   Δ l 2 {\displaystyle \ \Delta l^{2}} là các bình phương "thực", luôn dương.

Dấu của bất biến không thời gian Δs2 cho phép phân loại hai kiểu sự kiện so với nhau, bằng sử dụng khái niệm nón ánh sáng, sự phân loại này có ý nghĩa tuyệt đối tương ứng với khả năng chúng có liên hệ nhân quả với nhau hay không.

Thời gian và không gian đóng vai trò đối xứng trong khoảng không thời gian, làm cho chúng có ý nghĩa khi thực hiện cùng một phép đo. Đây là điểm để đưa đến chấp nhận định nghĩa mới về tốc độ ánh sáng, mà có thể cố định ở giá trị bất kỳ, tạo nên sự tương đương giữa độ dài và thời gian, cho phép định nghĩa lại mét theo giây. Cụ thể hơn, vì tốc độ ánh sáng là đại lượng bất biến giữa các hệ quy chiếu khác nhau, ta có thể đo khoảng cách hoặc thời gian theo đơn vị cm hoặc giây.

Thời gian riêng

Thời gian riêng của một đồng hồ là thời gian trôi qua với tốc độ bằng tốc độ hiển thị của nó. Thời gian riêng của một hạt là thời gian riêng của đồng hồ gắn với nó, nó là thời gian trôi qua trong một hệ quy chiếu mà hạt đứng yên. Bởi vì "thời gian trôi chậm hơn ở đồng hồ chuyển động", một quan sát viên (ít nhất là trong hệ quy chiếu quán tính) đang chuyển động ước tính rằng thời gian của đồng hồ bị chậm lại so với thời gian riêng của nó, trừ khi là quan sát viên đứng yên so với đồng hồ. Thời gian riêng của một hệ quy chiếu được ký hiệu chung là   τ {\displaystyle \ \tau } .

Trong hệ quy chiếu quán tính đứng yên, thời gian riêng trôi qua của hạt   Δ τ {\displaystyle \ \Delta \tau } và hiệu các tọa độ không gian của nó bằng 0   Δ x 0 = Δ y 0 = Δ z 0 = 0 {\displaystyle \ \Delta x_{0}=\Delta y_{0}=\Delta z_{0}=0} , và khi quan sát từ các hệ quy chiếu khác các hiệu số này bằng Δ t {\displaystyle \Delta t} và Δ x ;   Δ y ;   Δ z {\displaystyle \Delta x;\ \Delta y;\ \Delta z} . Vì sự bất biến của bình phương khoảng không thời gian, ta có   Δ s 2 = c 2 . Δ τ 2 = c 2 . Δ t 2 − Δ x 2 − Δ y 2 − Δ z 2 {\displaystyle \ \Delta s^{2}=c^{2}.\Delta \tau ^{2}=c^{2}.\Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}} , do vậy   Δ τ = Δ s c {\displaystyle \ \Delta \tau ={\frac {\Delta s}{c}}} : thời gian riêng và khoảng không thời gian sai khác nhau bởi hệ số 1 c {\displaystyle 1 \over c} , ít nhất bởi vì thời gian riêng là đại lượng bất biến khi thay đổi giữa các tọa độ.

Và giống như   c 2 . Δ τ 2 = c 2 . Δ t 2 − Δ x 2 − Δ y 2 − Δ z 2 > 0 {\displaystyle \ c^{2}.\Delta \tau ^{2}=c^{2}.\Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}>0} , do vậy Δ τ = Δ t . 1 − v 2 c 2 < Δ t {\displaystyle \Delta \tau =\Delta t.{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}<\Delta t} với v → = ( Δ x Δ t ; Δ y Δ t ; Δ z Δ t ) {\displaystyle {\vec {v}}=\left({{\Delta x} \over {\Delta t}};{{\Delta y} \over {\Delta t}};{{\Delta z} \over {\Delta t}}\right)} là vận tốc của chuyển động đều tương đối giữa hai hệ quy chiếu, như được tìm thấy trực tiếp từ phép biến đổi Lorentz.

Vì Δ τ < Δ t {\displaystyle \Delta \tau <\Delta t} , thời gian riêng Δ τ {\displaystyle \Delta \tau } ngắn hơn thời gian Δ t {\displaystyle \Delta t} của hệ quy chiếu gắn với quan sát viên thực hiện phép đo: nó là hiệu ứng đồng hồ chuyển động chạy chậm hơn.

Chú ý rằng một hạt chuyển động với tốc độ ánh sáng sẽ không có thời gian riêng của nó, hoặc thời gian riêng của nó không có sự trôi đi: v = c   ,   Δ τ = Δ t . 1 − v 2 c 2 ⇒ Δ τ = 0 {\displaystyle v=c\ {,}\ \Delta \tau =\Delta t.{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\Rightarrow \Delta \tau =0} . Hạt chuyển động với tốc độ bằng tốc ánh sáng và không có thời gian riêng, thì nó sẽ có tính chất là khối lượng của nó bằng 0.

Có một điểm đặc biệt ở đây đó là tuyến thế giới của hạt đứng yên sẽ không còn là một điểm nữa mà sẽ là một đoạn thẳng vuông góc với trục x. Thật vậy, nếu một hạt không chuyển động (x = constant) thì thời gian sẽ vẫn tiếp tục trôi trong khoảng thời gian đang xét đến!

• Biểu đồ Minkowski cho hệ quy chiếu quán tinh. Đường màu vàng là quỹ đạo của photon x = ct, với c = tốc độ ánh sáng.
• Biểu diễn 3 hệ quy chiếu khác nhau: hai hệ tô màu (x'; ct' và x"; ct") đang chuyển động so với hệ trục (x; ct).
• Biểu diễn thời gian riêng của hạt với thời gian của hệ quy chiếu.

Nếu một đoạn thẳng trên biểu đồ biểu diễn chuyển động với vận tốc đều, trong trường hợp tổng quát nó là đường cong biểu diễn chuyển động của một hạt.